数据结构之B树、B-树、B+树、B*树

B树

B树即二叉搜索树,具备以下特点:

  • 所有非叶子结点至多拥有两个儿子(Left和Right)
  • 所有结点存储一个关键字
  • 非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树,右指针指向大于其关键字的子树

b-tree

B树的搜索,从根结点开始,如果查询的关键字与结点的关键字相等,那么就命中;否则,如果查询关键字比结点关键字小,就进入左儿子;如果比结点关键字大,就进入右儿子;如果左儿子或右儿子的指针为空,则报告找不到相应的关键字;如果B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多(平衡),那么B树的搜索性能逼近二分查找;但它比连续内存空间的二分查找的优点是,改变B树结构(插入与删除结点)不需要移动大段的内存数据,甚至通常是常数开销;

b-tree

但B树在经过多次插入与删除后,有可能导致不同的结构:

btree

右边也是一个B树,但它的搜索性能已经是线性的了;同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引;所以,使用B树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构,和避免右图的结构,也就是所谓的“平衡”问题; 实际使用的B树都是在原B树的基础上加上平衡算法,即“平衡二叉树”。

性能:搜索节点在时间效率上是与二分查找是等价的(根节点左右孩子总数目差不多的情况下)

B-树

B-树是一种多路搜索树(并不是二叉的),B-树索引是基于二叉树结构的。B-树索引结构有3个基本组成部分:根节点、分支节点和叶子节点。其中根节点位于索引结构的最顶端,而叶子节点位于索引结构的最底端,中间为分子节点。

叶子节点(Leaf node):包含条目直接指向表里的数据行。

分支节点(Branch node):包含的条目指向索引里其他的分支节点或者是叶子节点。

根节点(Branch node):一个B树索引只有一个根节点,它实际就是位于树的最顶端的分支节点。

btree

B-树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为空,或已经是叶子结点;

B-树的特性:

1.关键字集合分布在整颗树中;

2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中;

3.搜索有可能在非叶子结点结束;

4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找;

5.自动层次控制;

由于限制了除根结点以外的非叶子结点,至少含有M/2个儿子,确保了结点的至少利用率,其最底搜索性能为

一篇文章理清B树、B-树、B+树、B*树索引之间的区别与联系

其中,M为设定的非叶子结点最多子树个数,N为关键字总数;

所以B-树的性能总是等价于二分查找(与M值无关),也就没有B树平衡的问题;

由于M/2的限制,在插入结点时,如果结点已满,需要将结点分裂为两个各占M/2的结点;删除结点时,需将两个不足M/2的兄弟结点合并;

性能:性能等价于二分查找,不同于B树的根节点是否平衡的情况

B+树

B+树是B-树的变体,也是一种多路搜索树:

1.其定义基本与B-树同,除了:

2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同;

3.非叶子结点的子树指针P[i],指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树

4.B-树是开区间;

5.为所有叶子结点增加一个链指针;

6.所有关键字都在叶子结点出现;如:(M=3)

一篇文章理清B树、B-树、B+树、B*树索引之间的区别与联系

B+的搜索与B-树也基本相同,区别是B+树只有达到叶子结点才命中(B-树可以在非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找;

B+的特性:

1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中(稠密索引),且链表中的关键字恰好是有序的;

2.不可能在非叶子结点命中;

3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层;

4.更适合文件索引系统;

B*树

B*是B+树的变体,在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针;

B树、B-树、B+树、B*树之间的关系

B树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)M,即块的最低使用率为2/3

(代替B+树的1/2);

B+树的分裂:当一个结点满时,分配一个新的结点,并将原结点中1/2的数据

复制到新结点,最后在父结点中增加新结点的指针;B+树的分裂只影响原结点和父

结点,而不会影响兄弟结点,所以它不需要指向兄弟的指针;

B*树的分裂:当一个结点满时,如果它的下一个兄弟结点未满,那么将一部分

数据移到兄弟结点中,再在原结点插入关键字,最后修改父结点中兄弟结点的关键字

(因为兄弟结点的关键字范围改变了);如果兄弟也满了,则在原结点与兄弟结点之

间增加新结点,并各复制1/3的数据到新结点,最后在父结点增加新结点的指针;

所以,B*树分配新结点的概率比B+树要低,空间使用率更高;

总结

B树:二叉树,每个结点只存储一个关键字,等于则命中,小于走左结点,大于走右结点;

B-树:多路搜索树,每个结点存储M/2到M个关键字,非叶子结点存储指向关键字范围的子结点;所有关键字在整颗树中出现,且只出现一次,非叶子结点可以命中;

B+树:在B-树基础上,为叶子结点增加链表指针,所有关键字都在叶子结点中出现,非叶子结点作为叶子结点的索引;B+树总是到叶子结点才命中;

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